Thực đơn
Giai thừa Mở rộng cho tập số rộng hơnTheo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.
Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?
Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau:
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t}Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,.}Khi đó ta có:
z ! = Γ ( z + 1 ) . {\displaystyle z!=\Gamma (z+1).\,}Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:
Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( n + k ) {\displaystyle \Gamma (z)\ =\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(n+k)}}}Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:
Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ( π z ) {\displaystyle \Gamma (z)\ \Gamma (1-z)\ ={\frac {\pi }{\sin({\pi }z)}}}Thay z = 1/2 ta thu được:
Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\ ={\sqrt {\pi }}}Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:
Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,.}Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:
Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = π ⋅ [ ( n − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]} Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π / [ ( − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:
z ! = Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) . {\displaystyle z!=\Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.}Như vậy:
( − 0 , 5 ) ! = Π ( − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) . {\displaystyle (-0,5)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,.} ( n − 0 , 5 ) ! = Π ( n − 1 2 ) = Γ ( n + 1 2 ) . {\displaystyle (n-0,5)!=\Pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.} ( − n − 0 , 5 ) ! = Π ( − n − 1 2 ) = Γ ( − n + 1 2 ) . {\displaystyle (-n-0,5)!=\Pi \left(-n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(-n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}Ví dụ:
Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:
Γ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ Γ ( k ) ( 1 ) k ! z k − 1 , {\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ^{(k)}(1)}{k!}}z^{k-1}\,,}với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:
n {\displaystyle n} | g n {\displaystyle g_{n}} | approximation |
---|---|---|
0 | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} |
1 | − γ {\displaystyle -\gamma } | − 0.5772156649 {\displaystyle -0.5772156649} |
2 | π 2 12 + γ 2 2 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{12}}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}} | 0.9890559955 {\displaystyle 0.9890559955} |
3 | − ζ ( 3 ) 3 − π 2 γ 12 − γ 3 6 {\displaystyle -{\frac {\zeta (3)}{3}}-{\frac {\pi ^{2}\gamma }{12}}-{\frac {\gamma ^{3}}{6}}} | − 0.9074790760 {\displaystyle -0.9074790760} |
Ở đây γ {\displaystyle \gamma } là hằng số Euler - Mascheroni còn ζ {\displaystyle \zeta } là hàm zeta Riemann.
Thực đơn
Giai thừa Mở rộng cho tập số rộng hơnLiên quan
Giai Giai cấp công nhân Giai đoạn vòng loại và play-off UEFA Champions League 2018–19 Giai thừa Giai thoại về Hong Gil Dong Giai đoạn vòng loại và vòng play-off UEFA Champions League 2022-23 Giai đoạn vòng loại và vòng play-off UEFA Champions League 2020–21 Giai cấp tư sản Giai cấp Giai đoạn vòng loại và play-off UEFA Europa League 2018–19 (Nhóm chính)Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Giai thừa http://www.britannica.com/EBchecked/topic/200040 http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html http://www.elektro-energetika.cz/calculations/fakt... http://d-nb.info/gnd/4153607-1 http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=... http://planetmath.org/Factorial http://bachkhoatoanthu.vass.gov.vn/noidung/tudien/...